Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Входная контрольная работа по геометрии 1 вариант 1. Площадь прямоугольника ABCD равна 15. Найдите сторону BC прямоугольника, если известно, что АВ = 3. 2. Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, равной 14. 3. Один из двух острых угла прямоугольного треугольника на 30° меньше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. 4. В ромбе ABCD проведена диагональ АС. Найдите ∠ABC, если известно, что LACD=25°. 5. В прямоугольном треугольнике АВК гипотенуза АВ равна 13, катет АК равен 12, катет ВК равен 8. Найдите тангенс угла А. 6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах पं 12345 125456769 1 см 7. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти градусные меры остальных углов параллелограмма. 8. Основания трапеции 9 см и 15 см, а высота равна 5 см. Найти среднюю линию и площадь трапеции. 9. В ДАВС АВ=8 см, ВС=6,5 см, АС=5,5 см. Найти периметр ДАВС. 10. Диагональ прямоугольника равна 22 см и образует с большей стороной угол 30°. Найти меньшую сторону прямоугольника. 11. Стороны прямоугольника 5 см и 12 см. Найти диагональ и площадь прямоугольника. 12. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 дм и основание равно 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к основанию треугольника. 13. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 4. 14.Найти длину окружности и площадь круглого стола, диаметр которого равен 120 см. (Ответ дать с л)
Ответ:
- Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S = AB \cdot BC$$. Из условия известно, что $$S = 15$$ и $$AB = 3$$. Следовательно, $$BC = \frac{S}{AB} = \frac{15}{3} = 5$$.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза равна 14, поэтому медиана равна $$\frac{14}{2} = 7$$.
- Пусть один острый угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 30^\circ$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому $$x + x + 30^\circ = 90^\circ$$. Отсюда $$2x = 60^\circ$$, $$x = 30^\circ$$. Больший угол равен $$30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$$.
- В ромбе диагональ является биссектрисой угла, поэтому $$\angle BAC = \angle CAD = 25^\circ$$. Тогда $$\angle BAD = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$$. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, $$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$$.
- В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, $$AB = 13, AK = 12, BK = 5$$. Тогда $$tg A = \frac{BK}{AK} = \frac{5}{12}$$.
- Площадь фигуры можно найти, посчитав количество полных клеток и добавив площади неполных клеток. В данном случае, полных клеток 5, а также есть два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 1, площадь каждого из них равна $$ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 $$. Итого площадь фигуры равна $$5 + 1 + 1 = 7$$ квадратных сантиметров.
- В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Если один угол равен 65°, то противоположный ему также равен 65°. Два других угла равны $$180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.
- Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ см. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: $$S = m \cdot h = 12 \cdot 5 = 60$$ квадратных сантиметров.
- Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $$P = AB + BC + AC = 8 + 6.5 + 5.5 = 20$$ см.
- Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $$x$$, тогда большая сторона равна $$a$$. Диагональ образует с большей стороной угол $$30^\circ$$. Тогда $$\cos 30^\circ = \frac{a}{22}$$, откуда $$a = 22 \cdot \cos 30^\circ = 22 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11\sqrt{3}$$. $$\sin 30^\circ = \frac{x}{22}$$, откуда $$x = 22 \cdot \sin 30^\circ = 22 \cdot \frac{1}{2} = 11$$ см.
- Диагональ прямоугольника равна $$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см. Площадь прямоугольника равна $$5 \cdot 12 = 60$$ квадратных сантиметров.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Пусть высота равна $$h$$. Тогда половина основания равна $$\frac{16}{2} = 8$$ дм. По теореме Пифагора, $$h^2 + 8^2 = 17^2$$, $$h^2 = 289 - 64 = 225$$, $$h = \sqrt{225} = 15$$ дм.
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28$$.
- Длина окружности равна $$C = \pi d = 120\pi$$. Площадь круга равна $$S = \pi r^2 = \pi (\frac{d}{2})^2 = \pi (\frac{120}{2})^2 = \pi (60)^2 = 3600\pi$$.
