ВІ. В прямоугольном треугольнике АВС угол между бис- сектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. Сторона АВ = 14 см. Найдите сторону АС, если известно, что точка Клежит между Ви Н.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, то есть ∠ACB = 90°.
• CK — биссектриса угла C, следовательно, ∠KCA = ∠KCB = 45°.
• CH — высота, опущенная из вершины C, следовательно, ∠CHA = 90°.
• Угол между биссектрисой CK и высотой CH равен 15°, то есть ∠KCH = 15°.
• Таким образом, ∠HCA = ∠KCA - ∠KCH = 45° - 15° = 30°.
• В прямоугольном треугольнике CHA угол ∠HCA = 30°.
• Известно, что сторона AB = 14 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол ∠BAC = 90° - ∠ABC.

В прямоугольном треугольнике CHA:

\(\sin(\angle HCA) = \frac{AH}{AC}\)

\(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

Тогда:

\(\frac{AH}{AC} = \frac{1}{2}\)

\(AC = 2 \cdot AH\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC:

\(\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}\)

\(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle KCH = 15^\circ\), то \(\angle BCA = 30^\circ\)

Тогда \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)

\(\frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}\)

\(AC = \frac{1}{2} \cdot AB\)

\(AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7\) см