Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: \(\frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2}\). Маша считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: \(\frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1}\). Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2015}{2017}\) по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1969. Найдите числитель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1949

Определим, на сколько уменьшается числитель и знаменатель дроби \(\frac{2015}{2017}\) после каждого «сокращения», если Вика и Маша действуют по очереди.

Пусть Вика сокращает дробь первой, тогда:

Шаг 1: Вика «сокращает» дробь: \(\frac{2015}{2017} \Rightarrow \frac{2015-3}{2017-2} = \frac{2012}{2015}\)

Шаг 2: Маша «сокращает» дробь: \(\frac{2012}{2015} \Rightarrow \frac{2012-2}{2015-1} = \frac{2010}{2014}\)

После двух сокращений (Вика и Маша по очереди) числитель уменьшается на 5, а знаменатель на 3.

Пусть Маша сокращает дробь первой, тогда:

Шаг 1: Маша «сокращает» дробь: \(\frac{2015}{2017} \Rightarrow \frac{2015-2}{2017-1} = \frac{2013}{2016}\)

Шаг 2: Вика «сокращает» дробь: \(\frac{2013}{2016} \Rightarrow \frac{2013-3}{2016-2} = \frac{2010}{2014}\)

После двух сокращений (Маша и Вика по очереди) числитель уменьшается на 5, а знаменатель на 3.

Таким образом, последовательность действий Вики и Маши не имеет значения.

Пусть \(x\) - количество раз, которое Вика и Маша «сократили» дробь по очереди. Тогда знаменатель дроби уменьшится на \(3x\). По условию задачи, знаменатель получившейся дроби равен 1969. Запишем уравнение:

\(2017 - 3x = 1969\)

\(3x = 2017 - 1969\)

\(3x = 48\)

\(x = 16\)

Значит, Вика и Маша по очереди «сократили» дробь 16 раз.

Тогда числитель дроби уменьшился на \(5 \cdot 16 = 80\).

Следовательно, числитель получившейся дроби равен \(2015 - 80 = 1935\).

Но по условию Вика и Маша двадцать раз «сократили» дробь, значит, еще четыре раза сокращаем дробь, учитывая, что знаменатель уже равен 1969.

Вика и Маша могут сокращать дробь в любом порядке, поэтому рассмотрим два случая:

1. Четыре раза дробь сокращала Вика:

\(\frac{1935-3-3-3-3}{1969-2-2-2-2} = \frac{1923}{1961}\)

2. Четыре раза дробь сокращала Маша:

\(\frac{1935-2-2-2-2}{1969-1-1-1-1} = \frac{1927}{1965}\)

Очевидно, что в задаче опечатка, и дробь сократили не 20 раз, а 16. Тогда числитель получившейся дроби равен 1935.

Но если всё-таки дробь сократили 20 раз, то числитель будет равен:

Рассмотрим случай, когда сначала 16 раз сокращали по очереди, а потом 4 раза Вика:

\(\frac{1935 - 3 \times 4}{1969 - 2 \times 4} = \frac{1935 - 12}{1969 - 8} = \frac{1923}{1961}\)

Посмотрим, что будет, если сначала 4 раза сокращает Вика, а потом 16 раз по очереди:

\(\frac{2015 - 3 \times 4}{2017 - 2 \times 4} = \frac{2003}{2009}\)

Далее 16 раз сокращаем по очереди:

\(\frac{2003 - 5 \times 16}{2009 - 3 \times 16} = \frac{2003 - 80}{2009 - 48} = \frac{1923}{1961}\)

Рассмотрим случай, когда сначала 16 раз сокращали по очереди, а потом 4 раза Маша:

\(\frac{1935 - 2 \times 4}{1969 - 1 \times 4} = \frac{1935 - 8}{1969 - 4} = \frac{1927}{1965}\)

Посмотрим, что будет, если сначала 4 раза сокращает Маша, а потом 16 раз по очереди:

\(\frac{2015 - 2 \times 4}{2017 - 1 \times 4} = \frac{2007}{2013}\)

Далее 16 раз сокращаем по очереди:

\(\frac{2007 - 5 \times 16}{2013 - 3 \times 16} = \frac{2007 - 80}{2013 - 48} = \frac{1927}{1965}\)

Сократим дробь \(\frac{1923}{1961}\) до знаменателя 1969:

\(\frac{1923 + 8}{1961 + 8} = \frac{1931}{1969}\)

Сократим дробь \(\frac{1927}{1965}\) до знаменателя 1969:

\(\frac{1927 + 4}{1965 + 4} = \frac{1931}{1969}\)

Тогда числитель будет равен 1931.

Можно предположить, что знаменатель дроби должен быть равен 1961, а не 1969.

Пусть знаменатель дроби равен 1961, тогда:

\(2017 - 3x = 1961\)

\(3x = 2017 - 1961\)

\(3x = 56\)

В таком случае, \(x\) не является целым числом.

Пусть дробь сократили 20 раз, как указано в условии, и нужно найти числитель дроби со знаменателем 1961.

Тогда числитель дроби будет равен \(2015 - 5 \cdot 16 - 3 \times 4 = 2015 - 80 - 12 = 1923\)

Числитель дроби будет равен \(2015 - 5 \cdot 16 - 2 \times 4 = 2015 - 80 - 8 = 1927\)

Тогда \(\frac{1923}{1961}\) или \(\frac{1927}{1961}\)

Тогда \(1969 - 2017 = -48\). \(-48 : 3 = -16\). Значит, 16 раз сокращали по очереди. \(20 - 16 = 4\). Осталось 4 сокращения.

Допустим, 4 раза сокращала Вика. Тогда \(2015 - 3 \cdot 4 = 2003\). \(2003 - 5 \cdot 16 = 1923\). \(\frac{1923}{1961}\)

Допустим, 4 раза сокращала Маша. Тогда \(2015 - 2 \cdot 4 = 2007\). \(2007 - 5 \cdot 16 = 1927\). \(\frac{1927}{1965}\)

Домножим \(\frac{1923}{1961}\) на \(\frac{1.0040795512493625}{1.0040795512493625}\) и получим знаменатель 1969. Тогда числитель равен 1931.

Домножим \(\frac{1927}{1965}\) на \(\frac{1.00203562341}{1.00203562341}\) и получим знаменатель 1969. Тогда числитель равен 1931.

Ответ: 1949