Вика и Маша не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Вика думает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 2. Вика делает так: \frac{6}{4} = \frac{6-3}{4-2} = \frac{3}{2} Маша считает, что при сокращении дроби нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 1. Маша делает так: \frac{4}{2} = \frac{4-2}{2-1} = \frac{2}{1} Вика и Маша (не обязательно по очереди) двадцать раз «сократили» по своим правилам дробь \frac{2015}{2017} и получили дробь с числителем 1969. Найдите знаменатель получившейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1969

1. Шаг 1: Проанализируем, как изменяются числитель и знаменатель после каждого «сокращения».

   • Пусть \(a_n\) — числитель после \(n\)-го сокращения, а \(b_n\) — знаменатель после \(n\)-го сокращения.
   • По условию, Вика и Маша сокращают дробь поочередно 20 раз.

2. Шаг 2: Установим закономерности для числителя и знаменателя.

   • Если сокращает Вика, то \(a_{n+1} = a_n - 3\) и \(b_{n+1} = b_n - 2\).
   • Если сокращает Маша, то \(a_{n+1} = a_n - 2\) и \(b_{n+1} = b_n - 1\).

3. Шаг 3: Рассмотрим случай, когда Вика и Маша сокращают дробь по очереди.

   • После первого сокращения (Вика): \(a_1 = 2015 - 3\), \(b_1 = 2017 - 2\).
   • После второго сокращения (Маша): \(a_2 = a_1 - 2 = 2015 - 3 - 2\), \(b_2 = b_1 - 1 = 2017 - 2 - 1\).
   • После 20 сокращений (10 раз Вика и 10 раз Маша): \(a_{20} = 2015 - 10 \cdot 3 - 10 \cdot 2 = 2015 - 50 = 1965\), \(b_{20} = 2017 - 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 2017 - 30 = 1987\).

4. Шаг 4: Найдем, кто сокращал дробь первым.

   Так как после 20 сокращений числитель стал равен 1969, а если бы сокращали строго по очереди, то числитель был бы равен 1965, необходимо определить, кто делал сокращения первым. Изменение числителя: \(2015 - 1969 = 46\). Пусть Вика сокращала \(x\) раз, а Маша \(20 - x\) раз. Тогда: \[ 3x + 2(20 - x) = 46 \] \[ 3x + 40 - 2x = 46 \] \[ x = 6 \] Значит, Вика сокращала 6 раз, а Маша 14 раз.

5. Шаг 5: Вычислим знаменатель.

   Знаменатель изменится следующим образом: \[ b_{20} = 2017 - 6 \cdot 2 - 14 \cdot 1 = 2017 - 12 - 14 = 2017 - 26 = 1991 \]

Ответ: 1991