Виталий задумал двузначное число. Цифра десятков этого числа на 5 больше цифры единиц. Если разделить задуманное число на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 11. Найдите задуманное число.

Краткая запись:

• Двузначное число: \(10x + y\)
• \(x = y + 5\)
• \((10x + y) : (x ∙ y) = 3\) ост. 11
• Найти: \(10x + y\)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Запишем условия в виде уравнений. Пусть \(x\) — цифра десятков, \(y\) — цифра единиц.
2. Шаг 2: Из первого условия: \(x = y + 5\).
3. Шаг 3: Из второго условия: \(10x + y = 3xy + 11\).
4. Шаг 4: Подставим первое уравнение во второе: \(10(y + 5) + y = 3(y + 5)y + 11\).
5. Шаг 5: Раскроем скобки и упростим: \(10y + 50 + y = 3y^2 + 15y + 11\)
6. Шаг 6: \(11y + 50 = 3y^2 + 15y + 11\)
7. Шаг 7: Перенесем все в одну сторону: \(3y^2 + 4y - 39 = 0\).
8. Шаг 8: Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 4^2 - 4 ∙ 3 ∙ (-39) = 16 + 468 = 484\). \(\sqrt{D} = 22\).
9. Шаг 9: Найдем корни: \(y_1 = \frac{-4 + 22}{2 ∙ 3} = \frac{18}{6} = 3\). \(y_2 = \frac{-4 - 22}{2 ∙ 3} = \frac{-26}{6}\) (не подходит, так как цифра не может быть отрицательной).
10. Шаг 10: Найдем \(x\) для \(y = 3\): \(x = 3 + 5 = 8\).
11. Шаг 11: Задуманное число: \(10x + y = 10 ∙ 8 + 3 = 83\).
12. Шаг 12: Проверка: 83 : (8 * 3) = 83 : 24. 83 = 3 * 24 + 11. Условие выполняется.

Ответ: 83