Витя и Артём красят забор за 5 часов. Артём и Тимур красят этот же забор за 6 часов, а Витя и Тимур — за 20 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Пусть производительности Вити, Артёма и Тимура равны соответственно \(v\), \(a\) и \(t\) частей забора в час.

По условию:

\[v+a=\frac{1}{5},\qquad a+t=\frac{1}{6},\qquad v+t=\frac{1}{20}.\]

Сложим равенства:

\[2(v+a+t)=\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{20}=\frac{12+10+3}{60}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}.\]

Значит, производительность всех троих:

\[v+a+t=\frac{5}{24}\text{ забора в час}.\]

Время работы:

\[T=\frac{1}{5/24}=\frac{24}{5}\text{ часа}=4.8\text{ часа}=288\text{ минут}.\]

Ответ: 288 минут.