внений: 3x² - 2y = 1, 2 в) 2x² - y² = 1;

Решение системы уравнений

Давай решим систему уравнений методом подстановки или сложения. В данном случае, я выберу метод сложения. Домножим первое уравнение на -1/2:

Получим систему уравнений:

• \[ -\frac{3}{2}x^2 + y = -\frac{1}{2} \]
• \[ 2x^2 - y^2 = 1 \]

Выразим переменную y из первого уравнения:

• \[ y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2} \]

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:

• \[ 2x^2 - (\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2})^2 = 1 \]

Раскроем скобки и упростим:

• \[ 2x^2 - (\frac{9}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{4}) = 1 \]
• \[ 2x^2 - \frac{9}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{4} = 1 \]

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну сторону:

• \[ -\frac{9}{4}x^4 + \frac{7}{2}x^2 - \frac{5}{4} = 0 \]

Домножим все на -4, чтобы избавиться от дробей:

• \[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \]

Введем замену переменной: \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

• \[ 9t^2 - 14t + 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \]

Найдем корни:

• \[ t_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1 \]
• \[ t_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \]

Вернемся к исходной переменной \( x \):

• \[ x^2 = 1 \] => \[ x_1 = 1, x_2 = -1 \]
• \[ x^2 = \frac{5}{9} \] => \[ x_3 = \frac{\sqrt{5}}{3}, x_4 = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):

• Для \( x_1 = 1 \): \[ y_1 = \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]
• Для \( x_2 = -1 \): \[ y_2 = \frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1 \]
• Для \( x_3 = \frac{\sqrt{5}}{3} \): \[ y_3 = \frac{3}{2}(\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
• Для \( x_4 = -\frac{\sqrt{5}}{3} \): \[ y_4 = \frac{3}{2}(-\frac{\sqrt{5}}{3})^2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{9} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Итак, решения системы уравнений:

• \[ (1, 1), (-1, 1), (\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3}) \]

Ответ: (1, 1), (-1, 1), ($$\frac{\sqrt{5}}{3}$$, $$\frac{1}{3}$$), (-$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$, $$\frac{1}{3}$$)

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!