6 4. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах. Билет 5. 1. Определение и свойство вертикальных углов (формулировка). 2. Доказать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 500 меньше другого. Найти эти углы. 4. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

Билет 4

4. Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах.

   Решение:

   Внешний угол при вершине B равен 102°, значит, ∠ABC = 180° - 102° = 78°.

   Сумма углов A и C равна 180° - ∠ABC = 180° - 78° = 102°.

   Так как AO и CO - биссектрисы, то ∠OAC + ∠OCA = 1/2 * (∠A + ∠C) = 1/2 * 102° = 51°.

   В треугольнике AOC ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - 51° = 129°.

   Ответ: 129°.

Билет 5

1. Определение и свойство вертикальных углов: Вертикальные углы - это два угла, образованные при пересечении двух прямых, не являющиеся смежными. Вертикальные углы равны.
2. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50° меньше другого. Найти эти углы.

   Решение:

   Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен x + 50°.

   Сумма этих углов равна 180° (так как они смежные). Следовательно,

   x + x + 50° = 180°

   2x = 130°

   x = 65°

   x + 50° = 115°

   Ответ: 65°, 115°.

4. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

   Решение:

   Пусть BH и CF - высоты, проведенные к сторонам AC и AB соответственно. Они пересекаются в точке M.

   ∠BMC = 140°.

   ∠HMB = 180° - 140° = 40°.

   Рассмотрим четырехугольник AHMC. ∠AHM = 90° и ∠AFC = 90°.

   Следовательно, ∠HMB + ∠BAC = 180°, следовательно, ∠BAC = 180° - 40° = 40°.

   Треугольник ABC - равнобедренный, значит, ∠ABC = ∠ACB = (180° - 40°) / 2 = 70°.

   Ответ: ∠BAC = 40°, ∠ABC = ∠ACB = 70°.