ВНИМАНИЕ! Для решения д/р вспомните признаки подобия треугольников! Дано: ABCD – пространственный четырехугольник. DA₁ : A₁A = DB₁ : B₁B = DC₁ : C₁C. Доказать параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁.

Доказательство:

Дано: ABCD – пространственный четырехугольник. Точки A₁, B₁, C₁ такие, что \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B = DC_1 : C_1C\).

Доказать: плоскость ABC || плоскости A₁B₁C₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим плоскость, проходящую через точку D и прямую AB. Эта плоскость пересекает прямые DA, DB, DC в точках A, B, C.
2. Рассмотрим треугольник DAB. Точка A₁ лежит на стороне DA, точка B₁ лежит на стороне DB. По условию, \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B\).
3. Согласно обратной теореме Фалеса, если на сторонах угла (или отрезках, исходящих из одной точки) отложены пропорциональные отрезки, то прямая, соединяющая концы этих отрезков, параллельна третьей стороне (или соединяет точки, лежащие на параллельных прямых).
4. В треугольнике DAB, \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B\). Это означает, что \(\frac{DA_1}{A_1A} = \frac{DB_1}{B_1B}\).
5. Прибавим к числителю и знаменателю единицу, чтобы получить соотношение с полными сторонами:
6. \(\frac{DA_1}{A_1A} + 1 = \frac{DB_1}{B_1B} + 1\)
7. \(\frac{DA_1 + A_1A}{A_1A} = \frac{DB_1 + B_1B}{B_1B}\)
8. \(\frac{DA}{A_1A} = \frac{DB}{B_1B}\).
9. Это соотношение не доказывает параллельность AB и A₁B₁.
10. Рассмотрим треугольник ADB.
11. Точки A₁ на DA и B₁ на DB. Из условия \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B\), что означает \(\frac{DA_1}{A_1A} = \frac{DB_1}{B_1B}\).
12. Это соотношение можно переписать как \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}\) если \(DA_1/A_1A = DB_1/B_1B = k\), тогда \(DA_1 = k \times A_1A\). \(DA = DA_1 + A_1A = k \times A_1A + A_1A = A_1A (k+1)\). \(DA_1/DA = k \times A_1A / (A_1A(k+1)) = k/(k+1)\).
13. \(\frac{DB_1}{B_1B} = \frac{DB_1}{DB - DB_1}\)
14. Переформулируем условие: \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B \rightarrow \frac{DA_1}{A_1A} = \frac{DB_1}{B_1B}\).
15. Сделаем так, чтобы были части относительно полных сторон:
16. \(DA_1 = x, A_1A = y \rightarrow \frac{x}{y} = \frac{DA_1}{A_1A}\)
17. \(DB_1 = z, B_1B = w \rightarrow \frac{z}{w} = \frac{DB_1}{B_1B}\)
18. \(\frac{x}{y} = \frac{z}{w}\)
19. \(DA = DA_1 + A_1A = x+y\)
20. \(DB = DB_1 + B_1B = z+w\)
21. \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{x}{x+y}\), \(\frac{DB_1}{DB} = \frac{z}{z+w}\).
22. Из \(\frac{x}{y} = \frac{z}{w}\) следует \(xw = yz\).
23. \(\frac{x}{x+y} = \frac{z}{z+w} \rightarrow x(z+w) = z(x+y) \rightarrow xz + xw = zx + zy \rightarrow xw = zy\).
24. Следовательно, \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}\).
25. По обратной теореме Фалеса, в треугольнике DAB, отношение отрезков на сторонах DA и DB равно, значит, прямая A₁B₁ параллельна стороне AB.
26. Аналогично, рассматривая треугольник ADC, из условия \(DA_1 : A_1A = DC_1 : C_1C\) (которое равно \(DA_1 : A_1A = DB_1 : B_1B\)), мы получаем \(\frac{DA_1}{DA} = \frac{DC_1}{DC}\).
27. Следовательно, A₁C₁ || AC.
28. Аналогично, рассматривая треугольник DBC, из условия \(DB_1 : B_1B = DC_1 : C_1C\), мы получаем \(\frac{DB_1}{DB} = \frac{DC_1}{DC}\).
29. Следовательно, B₁C₁ || BC.
30. Итак, мы имеем:
31. 1. \(A_1B_1 Ⅰ AB\)
32. 2. \(A_1C_1 Ⅰ AC\)
33. 3. \(B_1C_1 Ⅰ BC\)
34. (где \(Ⅰ\) означает параллельность)
35. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости (например, A₁B₁ и A₁C₁) параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (AB и AC), то эти плоскости параллельны.
36. Плоскость A₁B₁C₁ содержит пересекающиеся прямые A₁B₁ и A₁C₁.
37. Плоскость ABC содержит пересекающиеся прямые AB и AC.
38. Так как \(A_1B_1 Ⅰ AB\) и \(A_1C_1 Ⅰ AC\), то плоскость A₁B₁C₁ параллельна плоскости ABC.

Что и требовалось доказать.