33. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри впи- санного в круг: а) квадрата; б) правильного треуголь- ника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

Решение:

а) Квадрат:

• Площадь круга: \[S_{круг} = \pi R^2\]
• Диагональ квадрата равна диаметру круга: \[d = 2R\]
• Сторона квадрата: \[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}\]
• Площадь квадрата: \[S_{квадрата} = a^2 = (R\sqrt{2})^2 = 2R^2\]
• Вероятность попадания в квадрат: \[P_{квадрата} = \frac{S_{квадрата}}{S_{круг}} = \frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366\]

б) Правильный треугольник:

• Площадь круга: \[S_{круг} = \pi R^2\]
• Сторона правильного треугольника, вписанного в круг: \[a = R\sqrt{3}\]
• Площадь правильного треугольника: \[S_{треугольника} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}\]
• Вероятность попадания в треугольник: \[P_{треугольника} = \frac{S_{треугольника}}{S_{круг}} = \frac{\frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}}{\pi R^2} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.4135\]