Внутренние углы выпуклого четырехугольника находятся в отношении 2:3:4: 5. В каком отношении находятся его внешние углы?

Решение:

1. Находим внутренние углы:

1. Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
2. Пусть углы равны 2x, 3x, 4x, 5x.
3. Составляем уравнение: $$2x + 3x + 4x + 5x = 360°$$.
4. $$14x = 360°$$.
5. $$x = \frac{360°}{14} = \frac{180°}{7}$$.
6. Углы:
   • $$2x = 2 \times \frac{180°}{7} = \frac{360°}{7}$$
   • $$3x = 3 \times \frac{180°}{7} = \frac{540°}{7}$$
   • $$4x = 4 \times \frac{180°}{7} = \frac{720°}{7}$$
   • $$5x = 5 \times \frac{180°}{7} = \frac{900°}{7}$$

2. Находим внешние углы:

1. Сумма внешнего и внутреннего углов, примыкающих к одной вершине, равна 180°.
2. Внешние углы:
   • $$180° - \frac{360°}{7} = \frac{1260° - 360°}{7} = \frac{900°}{7}$$
   • $$180° - \frac{540°}{7} = \frac{1260° - 540°}{7} = \frac{720°}{7}$$
   • $$180° - \frac{720°}{7} = \frac{1260° - 720°}{7} = \frac{540°}{7}$$
   • $$180° - \frac{900°}{7} = \frac{1260° - 900°}{7} = \frac{360°}{7}$$

3. Находим отношение внешних углов:

1. Отношение внешних углов: $$\frac{900°}{7} : \frac{720°}{7} : \frac{540°}{7} : \frac{360°}{7}$$
2. Умножаем все части на 7: $$900 : 720 : 540 : 360$$
3. Сокращаем на 10: $$90 : 72 : 54 : 36$$
4. Сокращаем на 18: $$5 : 4 : 3 : 2$$

Ответ: 5:4:3:2