Внутри квадрата ABCD взята точка K, и на отрезке AK как на стороне построен квадрат AKLM, у которого сторона KL пересекает сторону AD. Найдите длину отрезка DM, если AB = 8, AK = 7, BK = 8,5.

Расположим квадрат в координатах: A(0; 0), B(8; 0), D(0; 8). Обозначим K(x; y).

Поскольку AK — сторона квадрата AKLM, а KL пересекает AD, вектор AM получается из вектора AK поворотом на 90° в сторону AD. Поэтому M имеет координаты (−y; x).

Тогда по формуле расстояния:

\(DM^2=(-y-0)^2+(x-8)^2=y^2+(8-x)^2\).

Но \(BK^2=(x-8)^2+y^2\), значит, \(DM^2=BK^2\), откуда \(DM=BK\).

Ответ: 8,5.