Внутри квадрата отмечены три точки. Квадрат разбили на треугольники так, что вершинами каждого треугольника являются вершины квадрата или отмеченные точки. При этом каждая из семи данных точек является вершиной хотя бы одного треугольника. Какое количество треугольников могло получиться?

Рассмотрим разбиение как триангуляцию квадрата: всего в нём 7 вершин, из которых 4 лежат на границе.

Обозначим число треугольников через \(T\), а число всех рёбер — через \(E\). По формуле Эйлера для плоского разбиения с внешней гранью \(7-E+(T+1)=2\), поэтому \(E=T+6\).

Если посчитать стороны всех треугольников, внутреннее ребро учитывается дважды, а каждое из 4 граничных рёбер — один раз. Значит, \(3T=2E-4\).

Подставим \(E=T+6\): \(3T=2(T+6)-4\), откуда \(T=8\).

Ответ: 8 треугольников.