Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята такая точка М, что ∠МВС = 30°, ∠MCB = 10°. Найдите угол АМС, если ∠BAC = 80°.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB = \frac{180^{\circ} - \angle BAC}{2} = \frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \).
2. Зная \( \angle ABC \) и \( \angle MBC \), найдём \( \angle ABM \): \( \angle ABM = \angle ABC - \angle MBC = 50^{\circ} - 30^{\circ} = 20^{\circ} \).
3. Зная \( \angle ACB \) и \( \angle MCB \), найдём \( \angle ACM \): \( \angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = 50^{\circ} - 10^{\circ} = 40^{\circ} \).
4. Рассмотрим треугольник MBC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдём \( \angle BMC \): \( \angle BMC = 180^{\circ} - \angle MBC - \angle MCB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 10^{\circ} = 140^{\circ} \).
5. Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдём \( \angle AMB \): \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABM = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 20^{\circ} = 80^{\circ} \).
6. Угол \( \angle AMC \) является развёрнутым углом. Угол \( \angle AMC \) = \( \angle AMB + \angle BMC = 80^{\circ} + 140^{\circ} = 220^{\circ} \). Но нам нужен острый угол, поэтому \( \angle AMC = 360^{\circ} - 220^{\circ} = 140^{\circ} \).
7. Проверим, что \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle BAC \). \( \angle AMC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
8. Рассмотрим треугольник АМС. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle MAC - \angle MCA = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACM = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ} \).
9. Найдем \( \angle AMC \) через сумму углов треугольника АМС: \( \angle AMC = 180^{\circ} - \angle MAC - \angle MCA = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ} \).
10. Проверим, что \( \angle AMC = \angle AMB + \angle BMC \) = \( 80^{\circ} + 140^{\circ} = 220^{\circ} \) (тупой угол).
11. Проверим, что \( \angle AMC \) = \( 180^{\circ} - \angle BAC \) = \( 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
12. Проверим \( \angle AMC \) через треугольник \( \triangle AMC \): \( \angle MAC = \angle BAC = 80^{\circ} \). \( \angle MCA = \angle ACB - \angle MCB = 50^{\circ} - 10^{\circ} = 40^{\circ} \). \( \angle AMC = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.