Внутри треугольника MNK отметили точку L так, что ∠MLN = ∠KLN и ML = LK. Через точки N и L провели прямую NL, которая пересекает сторону МК в точке О. Докажи, что: 1) ZNMK и ∠NКМ равны; 2) прямая NО является медианой треугольника MNK.

Для доказательства равенства углов и того, что NO - медиана, нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников и медиан.

1. Докажем равенство углов ∠NMК и ∠NKМ.
   • Рассмотрим треугольник MLK. Так как ML = LK, то треугольник MLK - равнобедренный с основанием MK.
   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠LMK = ∠LKM.
   • По условию, ∠MLN = ∠KLN.
   • Рассмотрим треугольник MNK. ∠NMK = ∠NML + ∠LMK, ∠NKM = ∠NKL + ∠LKM.
   • Так как ∠NML = ∠NKL и ∠LMK = ∠LKM, то ∠NMK = ∠NKM.
   • Следовательно, углы ∠NMK и ∠NKM равны.
2. Докажем, что прямая NO является медианой треугольника MNK.
   • Так как ∠NMK = ∠NKM, то треугольник MNK - равнобедренный с основанием MK.
   • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой и биссектрисой.
   • Прямая NO является линией, соединяющей вершину N с точкой на стороне MK.
   • Если NO является медианой, то точка O должна быть серединой MK.
   • Доказать, что O - середина MK, можно, показав, что NO является высотой (то есть NO перпендикулярна MK) или биссектрисой (то есть ∠MNO = ∠KNO).
   • Так как ∠NMK = ∠NKM, то NO является биссектрисой угла N в треугольнике MNK.
   • Следовательно, NO является также и медианой.
   • Таким образом, прямая NO является медианой треугольника MNK.

Ответ: Доказано, что углы ∠NMК и ∠NKМ равны; доказано, что прямая NО является медианой треугольника MNK.