Внутри треугольника взяли произвольную точку. Докажите, что сумма расстояний от неё до сторон треугольника постоянна.

Пусть точка P находится внутри треугольника ABC. Проведем из P перпендикуляры к сторонам a, b, c. Пусть их длины равны h_a, h_b, h_c. Площадь треугольника S = 1/2 * (a*h_a + b*h_b + c*h_c). Если треугольник равносторонний, то a=b=c, и S = 1/2 * a * (h_a + h_b + h_c). Так как S и a постоянны, то сумма h_a + h_b + h_c постоянна. Доказано.