Внутри треугольника взяли произвольную точку. Докажите, что сумма расстояний от неё до вершин треугольника меньше его периметра.

Доказательство:

• Пусть дан треугольник ABC, и точка O находится внутри него.
• Соединим точку O с вершинами A, B и C.
• Рассмотрим треугольник AOB. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Следовательно, AO + BO > AB.
• Аналогично, для треугольника BOC: BO + CO > BC.
• И для треугольника AOC: AO + CO > AC.
• Сложим три полученных неравенства: (AO + BO) + (BO + CO) + (AO + CO) > AB + BC + AC
• Преобразуем левую часть: 2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC
• Разделим обе части на 2: AO + BO + CO > (AB + BC + AC) / 2

Теперь рассмотрим другой подход. Продлим отрезки AO, BO и CO до пересечения со сторонами треугольника в точках D, E и F соответственно.

• Рассмотрим треугольник ACF. По неравенству треугольника, AF + CF > AC.
• Рассмотрим треугольник BCF. По неравенству треугольника, BF + CF > BC.
• Сложим эти два неравенства: AF + CF + BF + CF > AC + BC, что можно переписать как (AF + BF) + 2CF > AC + BC, или AB + 2CF > AC + BC.
• Заметим, что AO < AD = AF + FD и BO < BE = BD + DE и CO < CF = CE + EF.
• Следовательно, AO + BO + CO < AD + BE + CF.
• Таким образом, сумма расстояний от точки O до вершин треугольника меньше суммы длин отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками на противоположных сторонах.
• Поскольку AD + BE + CF меньше периметра треугольника ABC, то AO + BO + CO меньше периметра треугольника ABC.

Другое доказательство:

• Продлим AO до пересечения с BC в точке D.
• Тогда AO + OD < AB + BD (по неравенству треугольника ABD)
• И OD < DC + OC (по неравенству треугольника ODC)
• Сложим эти неравенства: AO + OD + OD < AB + BD + DC + OC
• AO < AB + BD + DC + OC - 2OD
• Так как BD + DC = BC, то AO < AB + BC + OC - 2OD
• Следовательно, AO + BO + CO < AB + BC + CA (периметр треугольника)

Другой способ доказательства:

• Рассмотрим треугольник ABC и внутреннюю точку O.
• Продолжим отрезок AO до пересечения со стороной BC в точке D.
• Применим неравенство треугольника к треугольнику ABD: AO + OD < AB + BD.
• Применим неравенство треугольника к треугольнику OCD: OC < OD + DC.
• Сложим два этих неравенства: AO + OD + OC < AB + BD + OD + DC.
• Упростим: AO + OC < AB + BD + DC = AB + BC.
• Аналогично, AO + BO < AC + BC и BO + CO < BA + CA.
• Сложим все три неравенства: 2(AO + BO + CO) < 2(AB + BC + CA).
• Разделим на 2: AO + BO + CO < AB + BC + CA.
• Таким образом, сумма расстояний от точки O до вершин треугольника меньше периметра треугольника ABC.