2. ВО – перпендикуляр к плоскости α, ВА и ВС – наклонные, ОА и ОС – их проекции на плоскость α, причем сумма их длин равна 24 см. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АВ = 4√6 см и ВС = 12√2 см.

Обозначим расстояние от точки B до плоскости α за x.

Тогда BO = x.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BOA:

AB² = BO² + OA².

OA² = AB² - BO².

OA = √(AB² - BO²).

Аналогично для прямоугольного треугольника BOC:

BC² = BO² + OC².

OC² = BC² - BO².

OC = √(BC² - BO²).

По условию OA + OC = 24.

Тогда √(AB² - BO²) + √(BC² - BO²) = 24.

По условию AB = 4√6, BC = 12√2.

Тогда √( (4√6)² - x²) + √((12√2)² - x²) = 24.

√(96 - x²) + √(288 - x²) = 24.

√(288 - x²) = 24 - √(96 - x²).

Возведем обе части в квадрат:

288 - x² = 576 - 48√(96 - x²) + 96 - x².

48√(96 - x²) = 576 + 96 - 288.

48√(96 - x²) = 384.

√(96 - x²) = 8.

Возведем обе части в квадрат:

96 - x² = 64.

x² = 32.

x = √32 = √(16 * 2) = 4√2.

Тогда расстояние от точки B до плоскости α равно 4√2 см.