Во сколько раз необходимо увеличить массу каждого из однородных одинаковых шаров, чтобы сила тяготения между ними увеличилась в 2,25 раза при неизменном расстоянии между ними?

Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона:

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Где:

• $$F$$ — сила тяготения между телами;
• $$G$$ — гравитационная постоянная;
• $$m_1$$, $$m_2$$ — массы тел;
• $$r$$ — расстояние между центрами масс тел.

В нашем случае у нас два одинаковых шара, поэтому $$m_1 = m_2 = m$$. Закон примет вид:

\[ F = G \frac{m^2}{r^2} \]

Пусть начальная масса каждого шара равна $$m$$, а сила тяготения между ними — $$F_1$$. Тогда:

\[ F_1 = G \frac{m^2}{r^2} \]

Теперь нам нужно увеличить массу каждого шара в $$x$$ раз. Новая масса каждого шара будет $$m' = x imes m$$. Сила тяготения между ними станет $$F_2$$. Расстояние $$r$$ остается неизменным.

\[ F_2 = G \frac{(m')^2}{r^2} = G \frac{(x imes m)^2}{r^2} = G \frac{x^2 m^2}{r^2} \]

Нам дано, что сила тяготения увеличилась в 2,25 раза, то есть $$F_2 = 2.25 imes F_1$$. Подставим выражения для $$F_1$$ и $$F_2$$:

\[ G \frac{x^2 m^2}{r^2} = 2.25 imes G \frac{m^2}{r^2} \]

Сократим одинаковые множители ($$G$$, $$m^2$$, $$r^2$$):

\[ x^2 = 2.25 \]

Чтобы найти $$x$$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[ x = \sqrt{2.25} \]

\[ x = 1.5 \]

Таким образом, массу каждого из шаров необходимо увеличить в 1.5 раза.

Ответ: 1.5