3. Во сколько раз отличаются светимости двух звезд одинакового цвета, если радиус одной из них больше в 25 раз?

Светимость звезды (L) связана с ее радиусом (R) и температурой (T) по формуле:

\[ L = 4 \pi R^2 \sigma T^4 \]

где \(\sigma\) - постоянная Стефана-Больцмана.

Так как у двух звезд одинаковый цвет, то можно считать, что их температуры примерно равны. Тогда отношение их светимостей будет зависеть только от отношения их радиусов:

Пусть радиус первой звезды равен \(R_1\), а радиус второй звезды равен \(R_2 = 25R_1\). Тогда светимости \(L_1\) и \(L_2\) будут равны:

\[ L_1 = 4 \pi R_1^2 \sigma T^4 \] \[ L_2 = 4 \pi R_2^2 \sigma T^4 = 4 \pi (25R_1)^2 \sigma T^4 \]

Найдем отношение светимостей:

\[ \frac{L_2}{L_1} = \frac{4 \pi (25R_1)^2 \sigma T^4}{4 \pi R_1^2 \sigma T^4} = \frac{(25R_1)^2}{R_1^2} = 25^2 = 625 \]

Таким образом, светимость второй звезды больше светимости первой звезды в 625 раз.