Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Решение:

Пусть радиус окружности равен \( R \).

1. Площадь вписанного квадрата:

Диагональ вписанного квадрата равна диаметру окружности, то есть \( d = 2R \).

Сторона вписанного квадрата \( a_1 \) находится по теореме Пифагора: \( a_1^2 + a_1^2 = d^2 \) или \( 2a_1^2 = (2R)^2 \) \( 2a_1^2 = 4R^2 \) \( a_1^2 = 2R^2 \).

Площадь вписанного квадрата \( S_1 = a_1^2 = 2R^2 \).

2. Площадь описанного квадрата:

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности, то есть \( a_2 = 2R \).

Площадь описанного квадрата \( S_2 = a_2^2 = (2R)^2 = 4R^2 \).

3. Во сколько раз площадь описанного квадрата больше площади вписанного:

Отношение площадей \( \frac{S_2}{S_1} = \frac{4R^2}{2R^2} = 2 \).

Ответ: Площадь описанного квадрата в 2 раза больше площади вписанного квадрата.