Во время осеннего субботника 11 класс убрал половину намеченной территории, 10 класс убрал треть от оставшегося участка, 9 класс — четверть остатка, 8 класс — пятую часть остатка, 7 класс — шестую часть, 6 класс — седьмую. Какую часть территории не убрали?

Решение:

Пусть вся намеченная территория равна 1.

1. 11 класс убрал \(\frac{1}{2}\) территории. Осталось: \[ 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
2. 10 класс убрал \(\frac{1}{3}\) от оставшейся части: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] Осталось после 10 класса: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
3. 9 класс убрал \(\frac{1}{4}\) от остатка: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \] Осталось после 9 класса: \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
4. 8 класс убрал \(\frac{1}{5}\) от остатка: \[ \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20} \] Осталось после 8 класса: \[ \frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5}{20} - \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \]
5. 7 класс убрал \(\frac{1}{6}\) от остатка: \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \] Осталось после 7 класса: \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6}{30} - \frac{1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \]
6. 6 класс убрал \(\frac{1}{7}\) от остатка: \[ \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{42} \]
7. Найдем общую убранную часть территории, сложив все убранные доли: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} \]
8. Приведем к общему знаменателю (210): \[ \frac{105}{210} + \frac{35}{210} + \frac{17.5}{210} + \frac{10.5}{210} + \frac{7}{210} + \frac{5}{210} \]
9. Уточнение: Возможно, имелось в виду, что каждый класс убирал от изначально оставшейся части, а не от того, что осталось после предыдущего. Давайте пересчитаем второй вариант.

Решение (вариант 2):

Пусть вся намеченная территория равна 1.

1. 11 класс убрал \(\frac{1}{2}\). Осталось: \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).
2. 10 класс убрал \(\frac{1}{3}\) от оставшегося участка (от \(\frac{1}{2}\)): \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
3. 9 класс убрал \(\frac{1}{4}\) от остатка (после 10 класса): \(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\).
4. 8 класс убрал \(\frac{1}{5}\) от остатка (после 9 класса): \(\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}\).
5. 7 класс убрал \(\frac{1}{6}\) от остатка (после 8 класса): \(\frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{5}{20} - \frac{1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\). \(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30}\).
6. 6 класс убрал \(\frac{1}{7}\) от остатка (после 7 класса): \(\frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{6}{30} - \frac{1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\). \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{42}\).
7. Теперь найдем, какая часть территории осталась неубранной. После 11 класса осталось \(\frac{1}{2}\). После 10 класса осталось \(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\). После 9 класса осталось \(\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\). После 8 класса осталось \(\frac{1}{4} - \frac{1}{20} = \frac{1}{5}\). После 7 класса осталось \(\frac{1}{5} - \frac{1}{30} = \frac{1}{6}\). После 6 класса осталось \(\frac{1}{6} - \frac{1}{42} = \frac{7}{42} - \frac{1}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}\).

Ответ: не убрали \(\frac{1}{7}\) часть территории.