Во время просмотра ленты соцсети Алиса нашла видео, как из квадратного зеркала сделать восьмиугольное зеркало и затем украсить его. У неё на стене как раз висит квадратное зеркало со стороной 80 см. Она хочет попросить папу вырезать ей восьмиугольное зеркало, у которого все стороны равны и все углы равны, но перед этим нужно произвести расчёты. Для этого Алиса нарисовала чертёж и наметила линии, по которым нужно будет отрезать от квадрата четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Определи примерную длину катета одного такого треугольника. Прими √2 равным 1,41. Запиши ответ в миллиметрах, предварительно округлив его до ближайшего целого числа.

Решение:

Для того, чтобы из квадратного зеркала сделать восьмиугольное, нужно отрезать четыре одинаковых прямоугольных треугольника от каждого угла квадрата. В результате получится правильный восьмиугольник.

Пусть сторона исходного квадрата равна a, а сторона получившегося восьмиугольника равна b. Длина катета отрезаемого прямоугольного треугольника обозначим как x.

Из рисунка видно, что сторона квадрата a состоит из катета одного треугольника, стороны восьмиугольника и катета другого треугольника. То есть: a = x + b + x, или a = b + 2x.

Также, сторона восьмиугольника b является гипотенузой отрезаемого прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами x и x (так как треугольники равнобедренные, т.к. углы квадрата 90 градусов и отрезки равны), гипотенуза b будет равна:

\[ b = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \]

Теперь подставим это значение b в первое уравнение:

\[ a = x\sqrt{2} + 2x \]

Вынесем x за скобки:

\[ a = x(\sqrt{2} + 2) \]

Нам известно, что сторона квадрата a = 80 см. Нам нужно найти x. Выразим x из формулы:

\[ x = \frac{a}{\sqrt{2} + 2} \]

Подставим значение a = 80 см и \[\sqrt{2} \] = 1.41:

\[ x = \frac{80}{1.41 + 2} = \frac{80}{3.41} \]

Теперь рассчитаем значение x:

\[ x \approx 23.46 \text{ см} \]

Задача просит записать ответ в миллиметрах, предварительно округлив его до ближайшего целого числа. Переведем сантиметры в миллиметры:

\[ 23.46 \text{ см} \times 10 \text{ мм/см} = 234.6 \text{ мм} \]

Округляем до ближайшего целого числа:

\[ 234.6 \text{ мм} \approx 235 \text{ мм} \]

Ответ: 235 мм.