Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?

Разберем задачу. Пусть: * $$n$$ - число подъездов, * $$e$$ - число этажей в подъезде, * $$k$$ - число квартир на этаже. Тогда общее число квартир в доме можно выразить как: $$n \cdot e \cdot k = 110$$. По условию, $$n > 1$$, $$k > n$$, и $$e \cdot n > k$$. Нам нужно найти $$e \cdot n$$, то есть общее число этажей в доме. Разложим 110 на простые множители: $$110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$$. Теперь нам нужно найти три числа $$n, e, k$$ такие, что $$n \cdot e \cdot k = 2 \cdot 5 \cdot 11$$, $$n > 1$$, $$k > n$$, и $$e \cdot n > k$$. Попробуем разные варианты: 1. Пусть $$n = 2$$. Тогда $$e \cdot k = 55$$. Чтобы выполнялось условие $$k > n$$, нужно, чтобы $$k > 2$$. * Если $$k = 5$$, то $$e = 11$$. Тогда $$e \cdot n = 2 \cdot 11 = 22$$. Проверим условие $$e \cdot n > k$$: $$22 > 5$$. Все условия выполнены. * Если $$k = 11$$, то $$e = 5$$. Тогда $$e \cdot n = 2 \cdot 5 = 10$$. Проверим условие $$e \cdot n > k$$: $$10 < 11$$. Это не подходит. * Если $$k = 55$$, то $$e = 1$$. Тогда $$e \cdot n = 2 \cdot 1 = 2$$. Проверим условие $$e \cdot n > k$$: $$2 < 55$$. Это не подходит. 2. Пусть $$n = 5$$. Тогда $$e \cdot k = 22$$. Чтобы выполнялось условие $$k > n$$, нужно, чтобы $$k > 5$$. * Если $$k = 11$$, то $$e = 2$$. Тогда $$e \cdot n = 5 \cdot 2 = 10$$. Проверим условие $$e \cdot n > k$$: $$10 < 11$$. Это не подходит. * Если $$k = 22$$, то $$e = 1$$. Тогда $$e \cdot n = 5 \cdot 1 = 5$$. Проверим условие $$e \cdot n > k$$: $$5 < 22$$. Это не подходит. Таким образом, единственный подходящий вариант: $$n = 2, e = 11, k = 5$$, где $$n \cdot e \cdot k = 110$$, $$n > 1$$, $$k > n$$ и $$e \cdot n > k$$. Тогда число этажей в доме: $$e \cdot n = 11 \cdot 2 = 22$$. Ответ: 22 этажа.