Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение:

Эта задача описывает движение с постоянным замедлением. Расстояния, пройденные автомобилем за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию.

1. Первый член прогрессии (расстояние, пройденное за первую секунду) \( a_1 = 16 \) м.
2. Разность прогрессии (уменьшение расстояния каждую следующую секунду) \( d = -4 \) м.
3. Найдем, сколько секунд автомобиль тормозил до полной остановки. Пусть \( n \) — количество секунд. Тогда расстояние, пройденное за \( n \)ю секунду, равно \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Чтобы автомобиль остановился, расстояние, пройденное за последнюю секунду, должно быть равно 0 или меньше. Для простоты примем, что последняя секунда — это когда расстояние стало 0.
4. \( a_n = 16 + (n-1)(-4) = 0 \)
5. \( 16 - 4n + 4 = 0 \)
6. \( 20 - 4n = 0 \)
7. \( 4n = 20 \)
8. \( n = 5 \) секунд.
9. Теперь найдем общее расстояние, пройденное за 5 секунд, используя формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
10. \( S_5 = \frac{5}{2}(16 + 0) \)
11. \( S_5 = \frac{5}{2} \cdot 16 \)
12. \( S_5 = 5 \cdot 8 \)
13. \( S_5 = 40 \) м.

Ответ: Автомобиль прошёл 40 метров до полной остановки.