Водитель планировал проехать путь из пункта А в пункт В за 3 часа, двигаясь со скоростью 75 км/ч. Однако через некоторое время после начала поездки произошла вынужденная остановка на 20 минут. Чтобы компенсировать задержку, на оставшемся участке пути водитель увеличил скорость до 90 км/ч и прибыл в пункт В вовремя. На каком расстоянии от пункта А произошла вынужденная остановка? Запишите решение и ответ.

Question

Accepted Answer

Обозначим:

\( S \) — общее расстояние между пунктами А и В (в км).

\( t \) — запланированное время в пути (3 часа).

\( v_1 \) — запланированная скорость (75 км/ч).

\( v_2 \) — увеличенная скорость (90 км/ч).

\( t_{ост} \) — время остановки (20 минут = 1/3 часа).

\( t_1 \) — время движения с начальной скоростью до остановки.

\( t_2 \) — время движения с увеличенной скоростью после остановки.

\( S_1 \) — расстояние, пройденное до остановки.

\( S_2 \) — расстояние, пройденное после остановки.

\( S = S_1 + S_2 \)

1. Находим общее расстояние:

\( S = v_1 \cdot t = 75 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 225 \text{ км} \)

2. Выражаем время движения:

Общее время в пути с учётом остановки: \( t_{общ} = t_1 + t_{ост} + t_2 = 3 \text{ ч} \)

\( t_1 + 1/3 + t_2 = 3 \)

\( t_1 + t_2 = 3 - 1/3 = 8/3 \text{ часа} \)

3. Связываем расстояния и скорости:

\( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 75 t_1 \)

\( S_2 = v_2 \cdot t_2 = 90 t_2 \)

\( S = 225 \text{ км} \)

\( 75 t_1 + 90 t_2 = 225 \)

Разделим уравнение на 15 для упрощения:

\( 5 t_1 + 6 t_2 = 15 \)

4. Решаем систему уравнений:

У нас есть система:

Из первого уравнения выразим \( t_1 \): \( t_1 = 8/3 - t_2 \)

Подставим во второе уравнение:

\( 5 (8/3 - t_2) + 6 t_2 = 15 \)

\( 40/3 - 5 t_2 + 6 t_2 = 15 \)

\( t_2 = 15 - 40/3 \)

\( t_2 = (45 - 40) / 3 = 5/3 \text{ часа} \)

Теперь найдём \( t_1 \):

\( t_1 = 8/3 - 5/3 = 3/3 = 1 \text{ час} \)

5. Находим расстояние от пункта А до места остановки:

\( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 75 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 75 \text{ км} \)

6. Проверка:

\( t_2 = 5/3 \text{ часа} \)

\( S_2 = 90 \text{ км/ч} \cdot 5/3 \text{ ч} = 30 \cdot 5 = 150 \text{ км} \)

\( S_1 + S_2 = 75 \text{ км} + 150 \text{ км} = 225 \text{ км} \)

Общее время: \( t_1 + t_{ост} + t_2 = 1 \text{ ч} + 1/3 \text{ ч} + 5/3 \text{ ч} = 1 + 6/3 = 1 + 2 = 3 \text{ часа} \)

Всё сходится.

Ответ: Вынужденная остановка произошла на расстоянии 75 км от пункта А.