Водолазный колокол, содержащий \( \nu = 3 \) моля воздуха при давлении \( p_1 = 1.4 \) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \( p_2 \). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \( A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1} \), где \( \alpha = 10.9 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}} \) - постоянная, \( T = 300 \) К - температура воздуха. Найдите, какое давление \( p_2 \) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 29 430 Дж.

Дано:

• Количество вещества: \( \nu = 3 \) моль


• Начальное давление: \( p_1 = 1.4 \) атм


• Постоянная: \( \alpha = 10.9 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}} \)


• Температура: \( T = 300 \) К


• Работа: \( A = 29430 \) Дж

Найти: \( p_2 \) - конечное давление.

Решение:

Используем формулу для работы при изотермическом сжатии:

$$ A = \alpha \nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1} $$

Выразим логарифм:

$$ \log_2 \frac{p_2}{p_1} = \frac{A}{\alpha \nu T} $$

Подставим значения:

$$ \log_2 \frac{p_2}{1.4} = \frac{29430}{10.9 \cdot 3 \cdot 300} = \frac{29430}{9810} = 3 $$

Теперь избавимся от логарифма:

$$ \frac{p_2}{1.4} = 2^3 = 8 $$

Найдем \( p_2 \):

$$ p_2 = 8 \cdot 1.4 = 11.2 $$

Ответ: 11.2 атм