Вокруг звезды по круговым орбитам обращаются две планеты. Для первой из них сила притяжения к звезде в 4 раза больше, чем для второй. Каково отношение радиусов орбит первой и второй планет, если планеты имеют одинаковые массы?

Решение:

Закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения \( F \) между двумя телами пропорциональна произведению их масс \( m_1 \) и \( m_2 \) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \( R \) между ними: \( F = G \frac{m_1 m_2}{R^2} \), где \( G \) — гравитационная постоянная.

В нашем случае \( m_1 \) — масса звезды, \( m_2 \) — масса планеты. Планеты имеют одинаковые массы, обозначим её \( m \). Сила притяжения первой планеты к звезде \( F_1 \), а второй — \( F_2 \). Радиусы орбит — \( R_1 \) и \( R_2 \) соответственно.

Согласно условию, \( F_1 = 4F_2 \).

Запишем формулы сил притяжения для обеих планет:

• \( F_1 = G \frac{m_1 m}{R_1^2} \)
• \( F_2 = G \frac{m_1 m}{R_2^2} \)

Теперь подставим эти выражения в равенство \( F_1 = 4F_2 \):

\[ G \frac{m_1 m}{R_1^2} = 4 \cdot G \frac{m_1 m}{R_2^2} \]

Сократим общие множители \( G \), \( m_1 \) и \( m \) с обеих сторон уравнения:

\[ \frac{1}{R_1^2} = \frac{4}{R_2^2} \]

Выразим отношение \( \frac{R_1}{R_2} \):

\[ R_2^2 = 4R_1^2 \]

\[ \frac{R_2^2}{R_1^2} = 4 \]

\[ \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = 4 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ \frac{R_2}{R_1} = 2 \]

Нам нужно найти отношение радиусов орбит первой и второй планет, то есть \( \frac{R_1}{R_2} \).

\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2} \).