Володя и Андрей вместе весят 40 кг, Володя и Гена – 50 кг, Гена и Вася – 90 кг, Вася и Дима – 100 кг, Дима и Андрей – 60 кг. Сколько килограммов весит каждый из мальчиков?

Решение:

Пусть вес Володи, Андрея, Гены, Васи и Димы будут обозначены первыми буквами их имен: В, А, Г, Вас, Д.

У нас есть следующие уравнения:

1. \( В + А = 40 \)
2. \( В + Г = 50 \)
3. \( Г + Вас = 90 \)
4. \( Вас + Д = 100 \)
5. \( Д + А = 60 \)

Сложим все уравнения:

\( (В + А) + (В + Г) + (Г + Вас) + (Вас + Д) + (Д + А) = 40 + 50 + 90 + 100 + 60 \)

\( 2В + 2А + 2Г + 2Вас + 2Д = 340 \)

Разделим обе стороны на 2:

\( В + А + Г + Вас + Д = 170 \)

Теперь найдем вес каждого мальчика, вычитая из общей суммы вес остальных:

1. Вес Володи (В): \( (В + А + Г + Вас + Д) - (А + Г + Вас + Д) \). Из уравнений \( Г + Вас = 90 \) и \( Вас + Д = 100 \) и \( Д + А = 60 \) мы можем выразить \( А + Г + Вас + Д \). Однако проще воспользоваться тем, что \( А + Д = 60 \) из уравнения 5. Тогда \( В + Г + Вас = 170 - 60 = 110 \). Теперь, из уравнения \( В + Г = 50 \), мы можем найти вес Васи: \( Вас = 110 - 50 = 60 \) кг.
2. Вес Васи (Вас): Найден из предыдущего шага. \( Вас = 60 \) кг.
3. Вес Гены (Г): \( Г = 90 - Вас = 90 - 60 = 30 \) кг.
4. Вес Андрея (А): \( А = 40 - В \). Также \( А = 60 - Д \). Из \( В + Г = 50 \) и \( Г = 30 \), мы получаем \( В = 50 - 30 = 20 \) кг. Теперь \( А = 40 - В = 40 - 20 = 20 \) кг.
5. Вес Димы (Д): \( Д = 100 - Вас = 100 - 60 = 40 \) кг.

Проверим:

• \( В + А = 20 + 20 = 40 \) (Верно)
• \( В + Г = 20 + 30 = 50 \) (Верно)
• \( Г + Вас = 30 + 60 = 90 \) (Верно)
• \( Вас + Д = 60 + 40 = 100 \) (Верно)
• \( Д + А = 40 + 20 = 60 \) (Верно)

Ответ: Володя весит 20 кг, Андрей весит 20 кг, Гена весит 30 кг, Вася весит 60 кг, Дима весит 40 кг.