Вопрос 6 (1 балл) Решить уравнение. 2x x+5 + 2x + 10 x-5 = 100 x² - 25 Выберите один или несколько ответов 5 -5 4 10 2,5

Решение:

Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Знаменатели не должны быть равны нулю:

• \( x + 5
  eq 0 \Rightarrow x
  eq -5 \)
• \( x - 5
  eq 0 \Rightarrow x
  eq 5 \)
• \( x^2 - 25
  eq 0 \Rightarrow x
  eq \pm 5 \)

Таким образом, \( x
eq \pm 5 \).

Приведем уравнение к общему знаменателю, который равен \( x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5) \). Умножим каждую дробь на соответствующий множитель:

\[\frac{2x}{x + 5} + \frac{2x + 10}{x - 5} = \frac{100}{x^2 - 25}\]

\[\frac{2x(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} + \frac{(2x + 10)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{100}{x^2 - 25}\]

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно сложить числители:

\[\frac{2x(x - 5) + (2x + 10)(x + 5)}{x^2 - 25} = \frac{100}{x^2 - 25}\]

Раскроем скобки в числителе:

\[\frac{2x^2 - 10x + 2x^2 + 10x + 10x + 50}{x^2 - 25} = \frac{100}{x^2 - 25}\]

Упростим числитель:

\[\frac{4x^2 + 10x + 50}{x^2 - 25} = \frac{100}{x^2 - 25}\]

Так как знаменатели равны, приравняем числители:

\[4x^2 + 10x + 50 = 100\]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[4x^2 + 10x - 50 = 0\]

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

\[2x^2 + 5x - 25 = 0\]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225\]

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 15}{4}\]

Получим два корня:

\[x_1 = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\]

\[x_2 = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5\]

Однако, \( x = -5 \) не входит в ОДЗ, поэтому остается только один корень:

\[x = 2.5\]

Ответ: 2,5