Вопрос 9 (1 балл) В прямоугольной трапеции острый угол при основании равен 30°, а сумма оснований равна 12 см и сумма боковых сторон равна 18 см. Вычислите площадь трапеции. В ответ запишите только число, например 5. Если в ответе получится десятичная дробь, то отделите целую часть от дробной запятой. Например: 0,3

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, BC - меньшая боковая сторона, AD - большая боковая сторона, ∠A = 90°, ∠D = 30°.

По условию:

• AB + CD = 12 см
• BC + AD = 18 см

Проведем высоту CH к стороне AD. Тогда AH = AB, и HD = CD - AB.

Рассмотрим треугольник CHD. Он прямоугольный, ∠CHD = 90°, ∠D = 30°. Следовательно, CH = 0.5 * CD.

Так как трапеция прямоугольная, то BC = AH. Известно, что BC + AD = 18 см. Тогда AD = 18 - BC.

AD - AH = HD => AD - BC = HD. CD + AB = 12 см. CD = 12 - AB. HD = CD - AB.

Так как CH = BC и CH = 0.5 * CD, то BC = 0.5 * CD.

Вместо CD подставим CD = 12 - AB, тогда BC = 0.5(12 - AB). BC = 6 - 0.5 * AB. AB = 12 - 2BC.

Рассмотрим HD. HD = CD - AB. HD = 12 - AB - AB. HD = 12 - 2AB. HD = 12 - 2(12 - 2BC). HD = 12 - 24 + 4BC. HD = 4BC - 12.

Так как ∠CDH = 30°, CH/HD = tg(30°) = 1/√3.

CH = BC, HD = 4BC - 12. BC/(4BC - 12) = 1/√3 => √3 * BC = 4BC - 12 => 4BC - √3 * BC = 12 => BC(4 - √3) = 12 => BC = 12/(4 - √3).

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на (4 + √3). BC = (12 * (4 + √3))/(16 - 3) = (12 * (4 + √3))/13 = (48 + 12√3)/13.

Пусть CD = x, тогда AB = 12 - x.

AD = 18 - BC => AD = 18 - (48 + 12√3)/13 = (234 - 48 - 12√3)/13 = (186 - 12√3)/13. HD = CD - AB => HD = x - (12 - x) = 2x - 12.

AD - BC = CD + AB = 12. => AD - BC = 2x - 12.

Так как ∠D = 30°, то CH = CD = 1/2 CD. HD = CD * √3 => HD/CD = √3.

(186 - 12√3)/13 - (48 + 12√3)/13 = 2x - 12. (186 - 48 - 12√3 - 12√3)/13 = 2x - 12. (138 - 24√3)/13 = 2x - 12.

(138 - 24√3)/13 + 12 = 2x => x = (138 - 24√3 + 156)/26 => x = (294 - 24√3)/26 = (147 - 12√3)/13.

CD = (147 - 12√3)/13.

AB = 12 - (147 - 12√3)/13 => AB = (156 - 147 + 12√3)/13 = (9 + 12√3)/13.

S = 0.5 * (AB + CD) * BC = 0.5 * (12) * (48 + 12√3)/13 => S = 6 * (48 + 12√3)/13 = (288 + 72√3)/13.

S ≈ (288 + 72 * 1,73)/13 ≈ (288 + 124,56)/13 ≈ 412,56/13 ≈ 31,74 см².

Округлим до целого числа 32.

Ответ: 32