Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вопрос 2: Упростите выражение a^{-\(\frac{1}{2}\)} + \(\frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\frac{a+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}}\) и найдите его значение при a = \(\frac{10}{3}\).
Ответ:
Сначала упростим выражение:
$$a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\frac{a+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\frac{a}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1}$$
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $$a^{\frac{1}{2}}$$:
$$a^{-\frac{1}{2}} + \frac{1 - a}{a(a^{\frac{1}{2}} + 1)} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{1 - a}{a^{\frac{1}{2}}(a + a^{\frac{1}{2}})}$$
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $$a^{-\frac{1}{2}}$$:
$$ a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}(1 - a)}{ a + a^{\frac{1}{2}}} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1-\ a}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a}+1 + 1 - a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{ - a +\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} $$
Теперь подставим $$a = \frac{10}{3}$$:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} - \sqrt{\frac{10}{3}}}{\frac{\frac{10}{3}+\sqrt{\frac{10}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{3}}}}= \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} - \sqrt{\frac{10}{3}}}{ \sqrt{\frac{10}{3}} + 1}$$
$$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a}) + \frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})} = \frac{2}{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}= \frac{2}{\sqrt{\frac{10}{3}}(1+\sqrt{\frac{10}{3}})} = \frac{2}{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}(1+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}})} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}(1+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}})}= \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{10}}{\sqrt{3}})} = \frac{2\sqrt{3}*\sqrt{3}}{\sqrt{10}(\sqrt{3}+\sqrt{10})} = \frac{6}{\sqrt{10}(\sqrt{3}+\sqrt{10})} = \frac{6}{\sqrt{30}+10}$$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$$\frac{6}{\sqrt{30}+10} * \frac{-\sqrt{30}+10}{-\sqrt{30}+10} = \frac{60-6\sqrt{30}}{100-30} = \frac{60-6\sqrt{30}}{70} = \frac{30-3\sqrt{30}}{35}$$
Ответ: $$\frac{30-3\sqrt{30}}{35}$$
$$a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\frac{a+a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{\frac{a}{a^{\frac{1}{2}}} + \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1}$$
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $$a^{\frac{1}{2}}$$:
$$a^{-\frac{1}{2}} + \frac{1 - a}{a(a^{\frac{1}{2}} + 1)} = a^{-\frac{1}{2}} + \frac{1 - a}{a^{\frac{1}{2}}(a + a^{\frac{1}{2}})}$$
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $$a^{-\frac{1}{2}}$$:
$$ a^{-\frac{1}{2}} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}(1 - a)}{ a + a^{\frac{1}{2}}} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1-\ a}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a}+1 + 1 - a}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{ - a +\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} $$
Теперь подставим $$a = \frac{10}{3}$$:
$$\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} - \sqrt{\frac{10}{3}}}{\frac{\frac{10}{3}+\sqrt{\frac{10}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{3}}}}= \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{3}}} - \sqrt{\frac{10}{3}}}{ \sqrt{\frac{10}{3}} + 1}$$
$$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}} = \frac{(1+\sqrt{a}) + \frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})} = \frac{2}{\sqrt{a}(1+\sqrt{a})}= \frac{2}{\sqrt{\frac{10}{3}}(1+\sqrt{\frac{10}{3}})} = \frac{2}{\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}(1+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}})} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}(1+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}})}= \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{10}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{10}}{\sqrt{3}})} = \frac{2\sqrt{3}*\sqrt{3}}{\sqrt{10}(\sqrt{3}+\sqrt{10})} = \frac{6}{\sqrt{10}(\sqrt{3}+\sqrt{10})} = \frac{6}{\sqrt{30}+10}$$
Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:
$$\frac{6}{\sqrt{30}+10} * \frac{-\sqrt{30}+10}{-\sqrt{30}+10} = \frac{60-6\sqrt{30}}{100-30} = \frac{60-6\sqrt{30}}{70} = \frac{30-3\sqrt{30}}{35}$$
Ответ: $$\frac{30-3\sqrt{30}}{35}$$
Похожие
