Вопрос 10. На циферблате часов выделены два участка, как показано на рисунке: от отметки 1 до отметки 3 и от отметки 7 до отметки 8. Подсветка часов горит, если хотя бы одна из двух стрелок указывает на выделенный участок. Сколько всего минут будет гореть подсветка за 12 часов?

За 12 часов каждая стрелка проходит циферблат один раз.

Между соседними часовыми отметками на циферблате 5 минут. Выделенные участки занимают: от 1 до 3 — 2 промежутка, то есть 10 минут; от 7 до 8 — 1 промежуток, то есть 5 минут. Всего выделено 15 минут из 60.

За 12 часов минутная стрелка сделает 12 оборотов, поэтому окажется на выделенных участках в течение 12 · 15 = 180 минут.

Часовая стрелка за эти 12 часов сделает один оборот. Выделенные участки соответствуют 3 часам на циферблате, то есть часовая стрелка указывает на них 3 часа, или 180 минут.

Подсветка горит, когда хотя бы одна стрелка на выделенном участке. Поэтому время, когда горят обе стрелки, нужно учесть только один раз. Однако интервалы, в которые минутная стрелка попадает на выделенные участки, повторяются каждый час, а часовая стрелка находится на выделенных участках лишь в соответствующие часы. В каждом из этих трёх часов минутная стрелка проходит выделенные участки суммарно 15 минут, совпадая с часовым попаданием на участке; суммарное совпадение — 45 минут.

По правилу включения-исключения: 180 + 180 − 45 = 315 минут.

Ответ: 315 минут.