Вопрос №11: Уравнения асимптот графика функции y = x / (x^2 - 1) имеют вид... Выберите правильный вариант:

Решение:

Для нахождения асимптот графика функции \( y = \frac{x}{x^2-1} \) нужно проанализировать поведение функции при приближении к точкам, где знаменатель обращается в ноль, и при стремлении аргумента к бесконечности.

1. Вертикальные асимптоты:

Знаменатель \( x^2 - 1 \) обращается в ноль при \( x^2 = 1 \), то есть при \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Проверим пределы:

При \( x \to 1^+ \): \( y \to \frac{1}{0^+} = +\infty \)

При \( x \to 1^- \): \( y \to \frac{1}{0^-} = -\infty \)

При \( x \to -1^+ \): \( y \to \frac{-1}{0^-} = +\infty \)

При \( x \to -1^- \): \( y \to \frac{-1}{0^+} = -\infty \)

Таким образом, \( x = 1 \) и \( x = -1 \) являются вертикальными асимптотами.

2. Горизонтальные или наклонные асимптоты:

Степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Следовательно, при \( x \to \pm\infty \), \( y \to 0 \).

\( \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x/x^2}{(x^2-1)/x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1-1/x^2} = \frac{0}{1-0} = 0 \)

Значит, \( y = 0 \) является горизонтальной асимптотой.

Совокупность асимптот: \( x = -1 \), \( x = 1 \), \( y = 0 \).

Среди предложенных вариантов:

• \( x = -1; x = 1; y = 0 \) — этот вариант соответствует полученным асимптотам.
• \( y = 0 \) — это только горизонтальная асимптота.
• \( x = -1; y = x-1 \) — неверно.
• \( x = 1; y = x+1 \) — неверно.
• асимптот нет — неверно.

Ответ: x = -1; x = 1; y = 0.