Вопрос 12 из 15 : CH – высота треугольника АВС с прямым углом С, АН = 4. Найдите АС, если угол СВА равен 30°. В ответе укажите только число без наименования

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) проведена высота CH. Нам дано, что AH = 4 и угол CBA = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. Угол AHB = 90°, угол ABH = 30°, угол BAH = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB. Угол ACB = 90°, угол CBA = 30°. Угол CAB = 60°.

В прямоугольном треугольнике ACB, высота CH делит его на два подобных треугольника: ACH и CBH. Также оба они подобны исходному треугольнику ACB.

Из подобия треугольников ACH и ACB имеем:

\(\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}\)

Отсюда, \( AC^2 = AB \cdot AH \).

В прямоугольном треугольнике ACB:

\(
\cos(\angle CBA) = \frac{BC}{AB} \)

\(
\sin(\angle CBA) = \frac{AC}{AB} \)

Из этого следует, что \( AC = AB \sin(30°) \).

Мы знаем, что \(
\sin(30°) = \frac{1}{2} \). Поэтому \( AC = \frac{1}{2} AB \).

Также, из подобия треугольников ACH и CBH, имеем:

\(
\frac{CH}{AH} = \frac{BH}{CH} \)

\( CH^2 = AH \cdot BH \).

В прямоугольном треугольнике ACH:

\(
\cos(\angle CAH) = \frac{AH}{AC} \)

\(
\sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC} \)

Так как угол CAB = 60°, то \(
\cos(60°) = \frac{AH}{AC} \)

\(
\frac{1}{2} = \frac{4}{AC} \)

\( AC = 4 \cdot 2 = 8 \)

Проверка:

В треугольнике ACB: \( AC = 8 \), \( AH = 4 \), \(
\frac{AH}{AC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \). Это соответствует \(


\cos(\angle CAB) =

\cos(60°) =

\frac{1}{2} \). Угол CAB = 60°, а угол CBA = 30°, что верно.

Ответ: 8