Вопрос 13. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1) $24(\cos 4\pi+i\sin 4\pi)$; 2) $\cos 24\pi+i\sin 24\pi$; 3) $\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}$; 4) $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$; 5) $24(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вопрос 13. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1)…$ Фото задания

Вопрос 13. Представить число в тригонометрической форме: $z=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{24}$. Выберите ответ: 1) $24(\cos 4\pi+i\sin 4\pi)$; 2) $\cos 24\pi+i\sin 24\pi$; 3) $\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}$; 4) $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$; 5) $24(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})$.

Accepted Answer

Представим основание в тригонометрической форме. Его модуль равен $\sqrt{(\sqrt{3}/2)^2+(1/2)^2}=1$, а аргумент — $\pi/6$. Поэтому $\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}$.

По формуле Муавра: $z=\cos(24\cdot\frac{\pi}{6})+i\sin(24\cdot\frac{\pi}{6})=\cos 4\pi+i\sin 4\pi$.

Правильный вариант — 4: модуль после возведения в степень остаётся равным 1, аргумент умножается на 24.

Ответ: $\cos 4\pi+i\sin 4\pi$ (вариант 4).