Вопрос 15. К какой основной теме можно отнести данную задачу? Докажите, что из начала координат можно провести к графику функции \(y=P(x)\), где \(P(x)\) — многочлен степени \(n\), не более \(n\) касательных. Варианты: Алгебра. Функции. Последовательности; Чётность; Алгебра. Неравенства; Принцип Дирихле; Инварианты и раскраски.

Рассмотрим касательную к графику в точке с абсциссой \(a\). Её уравнение: \(y=P(a)+P'(a)(x-a)\). Чтобы она проходила через начало координат, необходимо и достаточно, чтобы \(P(a)-aP'(a)=0\).

Левая часть — многочлен степени не выше \(n\). Если он не тождественно равен нулю, у него не более \(n\) корней, а значит, подходящих касательных не более \(n\). Если он тождественно равен нулю, то из равенства коэффициентов следует, что \(P(x)=c x\); в этом случае график — прямая через начало координат, и утверждение задачи требует оговорки (касательных бесконечно много).

Это задача на применение свойств многочлена и функций.

Ответ: «Алгебра. Функции. Последовательности».