ВОПРОС 15: Вычислить производную первого порядка функции y = \(\frac{\sqrt{2x-1}}{x^2 + 1}\) Только один вариант ответа

Решение:

Для вычисления производной функции \( y = \frac{\sqrt{2x-1}}{x^2 + 1} \) воспользуемся правилом дифференцирования частного:

\( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

Пусть \( u = \sqrt{2x-1} \) и \( v = x^2 + 1 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (\sqrt{2x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \)

\( v' = (x^2 + 1)' = 2x \)

Теперь подставим найденные производные в формулу частного:

\[ y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{2x-1}} \cdot (x^2 + 1) - \sqrt{2x-1} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \]

Приведем числитель к общему знаменателю \( \sqrt{2x-1} \):

\[ y' = \frac{\frac{x^2 + 1}{\sqrt{2x-1}} - \frac{2x \sqrt{2x-1} \cdot \sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{\frac{x^2 + 1 - 2x(2x-1)}{\sqrt{2x-1}}}{(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{x^2 + 1 - 4x^2 + 2x}{\sqrt{2x-1}(x^2 + 1)^2} \]

\[ y' = \frac{-3x^2 + 2x + 1}{\sqrt{2x-1}(x^2 + 1)^2} \]

Ответ: \( y' = \frac{-3x^2 + 2x + 1}{\sqrt{2x-1}(x^2 + 1)^2} \).