Вопрос 17 Строительство нового завода стоит 220 млн. рублей. Затраты на производство х тыс единиц продукции на таком заводе равны 0.5х²+x+7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх-(0.5x²+x+7). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции р=9 тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Решение:

Прибыль фирмы за один год определяется функцией \( P(x) = px - (0.5x^2 + x + 7) \), где \( x \) — количество произведенной продукции (в тыс. ед.), а \( p \) — цена за единицу (в тыс. руб.).

Для максимальной прибыли нужно найти вершину параболы \( P(x) \).

Год 1: \( p = 9 \). \( P(x) = 9x - (0.5x^2 + x + 7) = -0.5x^2 + 8x - 7 \). Вершина параболы находится при \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{8}{-1} = 8 \). Максимальная прибыль в 1-й год: \( P(8) = -0.5(8^2) + 8(8) - 7 = -0.5(64) + 64 - 7 = -32 + 64 - 7 = 25 \) млн руб.

Год 2: \( p = 9 + 1 = 10 \). \( P(x) = 10x - (0.5x^2 + x + 7) = -0.5x^2 + 9x - 7 \). Вершина параболы: \( x = -\frac{9}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{9}{-1} = 9 \). Максимальная прибыль во 2-й год: \( P(9) = -0.5(9^2) + 9(9) - 7 = -0.5(81) + 81 - 7 = -40.5 + 81 - 7 = 33.5 \) млн руб.

Год 3: \( p = 10 + 1 = 11 \). \( P(x) = 11x - (0.5x^2 + x + 7) = -0.5x^2 + 10x - 7 \). Вершина параболы: \( x = -\frac{10}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{10}{-1} = 10 \). Максимальная прибыль в 3-й год: \( P(10) = -0.5(10^2) + 10(10) - 7 = -0.5(100) + 100 - 7 = -50 + 100 - 7 = 43 \) млн руб.

Год 4: \( p = 11 + 1 = 12 \). \( P(x) = 12x - (0.5x^2 + x + 7) = -0.5x^2 + 11x - 7 \). Вершина параболы: \( x = -\frac{11}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{11}{-1} = 11 \). Максимальная прибыль в 4-й год: \( P(11) = -0.5(11^2) + 11(11) - 7 = -0.5(121) + 121 - 7 = -60.5 + 121 - 7 = 53.5 \) млн руб.

Год 5: \( p = 12 + 1 = 13 \). \( P(x) = 13x - (0.5x^2 + x + 7) = -0.5x^2 + 12x - 7 \). Вершина параболы: \( x = -\frac{12}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{12}{-1} = 12 \). Максимальная прибыль в 5-й год: \( P(12) = -0.5(12^2) + 12(12) - 7 = -0.5(144) + 144 - 7 = -72 + 144 - 7 = 65 \) млн руб.

Общая стоимость строительства завода: 220 млн руб.

Суммарная прибыль за годы:

1 год: 25 млн руб. (Накоплено: 25)

2 год: 33.5 млн руб. (Накоплено: 25 + 33.5 = 58.5)

3 год: 43 млн руб. (Накоплено: 58.5 + 43 = 101.5)

4 год: 53.5 млн руб. (Накоплено: 101.5 + 53.5 = 155)

5 год: 65 млн руб. (Накоплено: 155 + 65 = 220)

Строительство окупится за 5 лет.

Ответ: 5