Вопрос 18. Оцените решение школьника согласно приведенным критериям от 0 до 7. Условие задачи: Квадратный трехчлен f(x) = ax² + bx + c имеет два различных вещественных корня x₁ и x₂. Известно, что f(x₁ + x₂) = 2025. Чему может равняться c? Критерии: 1) Присутствует верный ответ без обоснования — добавляется 1 балл. 2) Сумма x₁ + x₂ выражена через коэффициенты квадратного трехчлена — 2 балла. 3) Полное верное решение — 7 баллов. Решение школьника: График y = f(x) симметричен относительно прямой x = (x₁ + x₂)/2 — вертикальной прямой, проходящей через вершину параболы. Поэтому для любых двух значений x = t₁, x = t₂ таких, что (t₁ + t₂)/2 = (x₁ + x₂)/2, будет выполнено f(t₁) = f(t₂). В частности, f(x₁ + x₂) = f(0). Но f(0) = c. То есть c = 2025.

Решение школьника верное.

1. У квадратного трёхчлена ось симметрии проходит через середину его корней, поэтому её уравнение: \(x=\frac{x_1+x_2}{2}\).
2. Точки \(0\) и \(x_1+x_2\) симметричны относительно этой оси, так как их среднее арифметическое равно \(\frac{x_1+x_2}{2}\). Следовательно, \(f(0)=f(x_1+x_2)\).
3. По условию \(f(x_1+x_2)=2025\), а \(f(0)=c\). Поэтому \(c=2025\).

Хотя школьник не записал явно теорему Виета, его обоснование через ось симметрии параболы является корректным и полностью решает задачу.

Оценка: 7 баллов из 7.