Вопрос 18 Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В - 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Решение:

Пусть \( x \) — количество контейнеров типа А, \( y \) — количество контейнеров типа В.

Условия:

1. Грузоподъемность баржи: \( 2x + 5y \le 134 \) (тонны).
2. Количество контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество контейнеров типа А: \( y \ge 1.25x \).
3. \( x \ge 0, y \ge 0 \) (количество контейнеров не может быть отрицательным).

Цель: Максимизировать суммарную стоимость \( C = 5x + 7y \) (млн руб.).

Подставим условие \( y \ge 1.25x \) в первое неравенство:

\( 2x + 5(1.25x) \le 134 \)

\( 2x + 6.25x \le 134 \)

\( 8.25x \le 134 \)

\( x \le \frac{134}{8.25} \approx 16.24 \). Так как \( x \) должно быть целым числом, то \( x \le 16 \).

Теперь найдем максимальное \( y \) для \( x = 16 \) из условия \( y \ge 1.25x \):

\( y \ge 1.25 \cdot 16 = 20 \).

Проверим грузоподъемность при \( x = 16, y = 20 \):

\( 2(16) + 5(20) = 32 + 100 = 132 \). Это меньше или равно 134, значит, возможно.

Рассчитаем стоимость при \( x = 16, y = 20 \):

\( C = 5(16) + 7(20) = 80 + 140 = 220 \) млн руб.

Рассмотрим случай, когда \( y \) принимает максимально возможное значение, чтобы получить максимальную стоимость, так как контейнеры типа В дороже.

Из \( 2x + 5y \le 134 \) выразим \( x \): \( 2x \le 134 - 5y \implies x \le \frac{134 - 5y}{2} \).

Подставим в \( y \ge 1.25x \):

\( y \ge 1.25 \cdot \frac{134 - 5y}{2} \)

\( 2y \ge 1.25(134 - 5y) \)

\( 2y \ge 167.5 - 6.25y \)

\( 8.25y \ge 167.5 \)

\( y \ge \frac{167.5}{8.25} \approx 20.3 \). Так как \( y \) должно быть целым числом, то \( y \ge 21 \).

Теперь найдем максимальное \( x \) при \( y = 21 \) из условия \( 2x + 5y \le 134 \):

\( 2x + 5(21) \le 134 \)

\( 2x + 105 \le 134 \)

\( 2x \le 29 \)

\( x \le 14.5 \). Так как \( x \) должно быть целым числом, то \( x \le 14 \).

Проверим условие \( y \ge 1.25x \) для \( x = 14, y = 21 \):

\( 21 \ge 1.25 \cdot 14 \implies 21 \ge 17.5 \). Условие выполняется.

Рассчитаем стоимость при \( x = 14, y = 21 \):

\( C = 5(14) + 7(21) = 70 + 147 = 217 \) млн руб.

Сравним полученные значения стоимости: 220 млн руб. и 217 млн руб. Наибольшая возможная стоимость — 220 млн руб.

Ответ: 220