Вопрос 19 из 25 Найдите наибольшее значение функции f(x)=(x-1)/(x+2) на отрезке [0;4].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( f(x) = \frac{x-1}{x+2} \) на отрезке \( [0;4] \) найдем производную функции и определим критические точки.

1. Найдем производную функции \( f(x) \) по правилу дифференцирования частного: \( f'(x) = \frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} \)
2. \( f'(x) = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-1) · 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x+1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2} \)
3. Производная \( f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2} \) всегда положительна для \( x \) из области определения \( x \neq -2 \). Следовательно, функция \( f(x) \) является возрастающей на всей своей области определения, включая отрезок \( [0;4] \).
4. Для возрастающей функции наибольшее значение достигается в правой границе отрезка.
5. Вычислим значение функции в точке \( x=4 \): \( f(4) = \frac{4-1}{4+2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
6. Вычислим значение функции в точке \( x=0 \): \( f(0) = \frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} \)

Наибольшее значение функции на отрезке \( [0;4] \) равно \( \frac{1}{2} \).

Ответ: 1/2