Вопрос №20: Функция y = 1 / (x^2 - 4)^2 убывает на промежутке... Выберите правильный вариант:

Решение:

Чтобы определить, на каких промежутках функция \( y = \frac{1}{(x^2 - 4)^2} \) убывает, найдём её производную.

1. Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = x^2 - 4 \). Тогда \( y = u^{-2} \).
2. Производная \( y' \) по \( x \) равна: \[ y' = -2(x^2 - 4)^{-3} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 4) \]
3. Производная \( \frac{d}{dx}(x^2 - 4) = 2x \).
4. Подставляем обратно: \[ y' = -2(x^2 - 4)^{-3} \cdot 2x = \frac{-4x}{(x^2 - 4)^3} \]
5. Функция убывает, когда \( y' < 0 \). Рассмотрим знак числителя и знаменателя.
6. Числитель \( -4x \) отрицателен при \( x > 0 \) и положителен при \( x < 0 \).
7. Знаменатель \( (x^2 - 4)^3 \) имеет тот же знак, что и \( x^2 - 4 \). \( x^2 - 4 > 0 \) при \( x < -2 \) или \( x > 2 \). \( x^2 - 4 < 0 \) при \( -2 < x < 2 \).
8. Рассмотрим интервалы:
   • \( (-\infty; -2) \): числитель > 0, знаменатель > 0. \( y' > 0 \) (возрастает).
   • \( (-2; 0) \): числитель > 0, знаменатель < 0. \( y' < 0 \) (убывает).
   • \( (0; 2) \): числитель < 0, знаменатель < 0. \( y' > 0 \) (возрастает).
   • \( (2; +\infty) \): числитель < 0, знаменатель > 0. \( y' < 0 \) (убывает).
9. Таким образом, функция убывает на промежутках \( (-2; 0) \) и \( (2; +\infty) \).

Ответ: (-2; 0] ∪ (2; +∞).