Ответ:

Деепричастие должно обозначать добавочное действие того же лица или предмета, который выполняет основное действие.

В вариантах 1–3 исполнитель добавочного действия не совпадает с подлежащим или отсутствует: картины не посещали выставку; «мне» не рассматривает страницы; место не осматривалось вокруг. В варианте 4 оба действия выполняет он: проявил мужество и не испугался.

Ответ: 4) Он проявил мужество, не испугавшись перед лицом опасности.