Вопрос №3. При каком наименьшем n произведение всех чисел от 1 до n делится на 2025?

Разложим число на простые множители: \(2025=3^4\cdot5^2\).

Искомое произведение — это \(n!\). Для делимости на \(5^2\) нужно, чтобы в произведении были как минимум два множителя 5; наименьшее подходящее значение — \(n=10\).

Проверим степень тройки в \(10!\): \(\lfloor10/3\rfloor+\lfloor10/9\rfloor=3+1=4\). Значит, в произведении есть множитель \(3^4\), а множители 5 дают \(5^2\). При \(n<10\) в произведении меньше двух множителей 5.

Ответ: 10.