Вопрос №3. Решите уравнения: 1) log₁⁄₃(x² + 3x − 9) = −2; 2) 2log₅(x − 4) + log₅(x − 6)² = 0; 3) log₀,₅(3x² + 5x − 5) = log₀,₅(x + 2).

1) \(\log_{\frac13}(x^2+3x-9)=-2\).

По определению логарифма:

\(x^2+3x-9=\left(\frac13\right)^{-2}=9\).

\(x^2+3x-18=0\).

\((x+6)(x-3)=0\), поэтому \(x=-6\) или \(x=3\). Оба значения подходят, так как аргумент логарифма равен \(9>0\).

Ответ: \(x\in\{-6;3\}\).

2) \(2\log_5(x-4)+\log_5(x-6)^2=0\).

ОДЗ: \(x-4>0\), поэтому \(x>4\), и \(x\ne6\).

Преобразуем сумму логарифмов:

\(\log_5\bigl((x-4)^2(x-6)^2\bigr)=0\).

Следовательно, \(((x-4)(x-6))^2=1\), то есть

\((x-4)(x-6)=1\) или \((x-4)(x-6)=-1\).

В первом случае:

\(x^2-10x+24=1\), \(x^2-10x+23=0\), откуда \(x=5\pm\sqrt2\). Условию \(x>4\) подходит только \(x=5+\sqrt2\).

Во втором случае:

\(x^2-10x+24=-1\), \(x^2-10x+25=0\), откуда \(x=5\).

Ответ: \(x\in\{5;5+\sqrt2\}\).

3) \(\log_{0.5}(3x^2+5x-5)=\log_{0.5}(x+2)\).

ОДЗ: \(x+2>0\), то есть \(x>-2\), а также \(3x^2+5x-5>0\).

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

\(3x^2+5x-5=x+2\).

\(3x^2+4x-7=0\).

\(D=4^2-4\cdot3\cdot(-7)=100\), поэтому

\(x=\frac{-4\pm10}{6}\), то есть \(x=1\) или \(x=-\frac73\).

Значение \(x=-\frac73\) не подходит, поскольку \(x+2<0\). Значение \(x=1\) подходит.

Ответ: \(x=1\).