ВОПРОС 3: Вычислить предел функции lim (5x + 2 / 5x + 1)^(5x-3) при x->∞. Только один вариант ответа

Решение:

Для вычисления предела вида \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5x+2}{5x+1} \right)^{5x-3} \), мы имеем неопределённость вида \( 1^\infty \).

Сначала преобразуем основание дроби:

\( \frac{5x+2}{5x+1} = \frac{5x+1+1}{5x+1} = 1 + \frac{1}{5x+1} \)

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{5x+1} \right)^{5x-3} \)

Применим формулу для предела \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{f(x)} \right)^{g(x)} = e^\limits^{\lim_{x \to \infty} \frac{g(x)}{f(x)}} \), где \( f(x) = 5x+1 \) и \( g(x) = 5x-3 \).

Найдем предел показателя:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{5x-3}{5x+1} \)

Разделим числитель и знаменатель на \( x \):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{3}{x}}{5 + \frac{1}{x}} = \frac{5 - 0}{5 + 0} = \frac{5}{5} = 1 \)

Таким образом, предел равен \( e^1 \).

Ответ: e