ВОПРОС 4 ИЗ 10 Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA₁.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Условие: Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9. Нужно найти объем треугольной пирамиды ABCA₁.

Решение:

1. Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: V = Sосн ⋅ h, где Sосн — площадь основания, а h — высота.

2. Объем треугольной пирамиды (тетраэдра) вычисляется по формуле: V = (1/3) ⋅ Sосн ⋅ h.
3. Связь между фигурами: Треугольная пирамида ABCA₁ является частью параллелепипеда. Если рассматривать основание параллелепипеда как параллелограмм ABCD, то треугольник ABC составляет половину его площади (S_ABC = 1/2 ⋅ S_ABCD).

4. Объем пирамиды ABCA₁: Если взять за основание пирамиды треугольник ABC, то высота пирамиды будет равна высоте параллелепипеда. Таким образом, объем пирамиды ABCA₁ будет равен 1/3 площади основания ABC, умноженной на высоту.
5. Расчет:
• Объем параллелепипеда V_{параллелепипеда} = 9.
• Объем пирамиды, основанием которой является треугольник ABC, а вершиной — A₁, будет равен: V_ABCA₁ = (1/3) ⋅ S_ABC ⋅ h.
• Поскольку S_ABC = 1/2 ⋅ S_ABCD, то V_ABCA₁ = (1/3) ⋅ (1/2 ⋅ S_ABCD) ⋅ h.
• Это можно переписать как V_ABCA₁ = (1/6) ⋅ (S_ABCD ⋅ h).
• Так как V_{параллелепипеда} = S_ABCD ⋅ h, то V_ABCA₁ = (1/6) ⋅ V_{параллелепипеда}.
• Подставляем значение объема параллелепипеда: V_ABCA₁ = (1/6) ⋅ 9 = 9/6 = 3/2 = 1.5.

Ответ: 1.5