Вопрос №4. Решите однородное уравнение \(7\cdot81^x+9\cdot49^x=16\cdot63^x\).

Делим обе части на \(63^x\), которое положительно при любом действительном \(x\):

\(7\left(\frac{81}{63}\right)^x+9\left(\frac{49}{63}\right)^x=16\), то есть \(7\left(\frac97\right)^x+9\left(\frac79\right)^x=16\).

Обозначим \(t=\left(\frac97\right)^x\). Тогда \(t>0\), а \(\left(\frac79\right)^x=\frac1t\). Получаем:

\(7t+\frac9t=16\), значит \(7t^2-16t+9=0\).

\((7t-9)(t-1)=0\), поэтому \(t=\frac97\) или \(t=1\). Из определения \(t\) следует: \(x=1\) или \(x=0\).

Ответ: \(x=0;\ 1\).