Вопрос 4. Решите показательные уравнения и выберите корни: а) (64²)⁻ˣ = 2⁻²⁴; б) 2²ˣ⁻⁴ = 3²⁻ˣ; в) 9ˣ⁻⁰·⁵ − 8 · 3ˣ⁻¹ + 5 = 0.

1. а) Представим 64 как степень двойки: \((64^2)^{-x}=((2^6)^2)^{-x}=2^{-12x}\). Тогда \(2^{-12x}=2^{-24}\), откуда \(-12x=-24\) и \(x=2\).

2. б) Логарифмируем обе части: \((2x-4)\ln 2=(2-x)\ln 3\). Отсюда \(x(2\ln 2+\ln 3)=2\ln 2+2\ln 3\), поэтому \(x=\frac{2\ln 6}{\ln 12}\).

3. в) Обозначим \(t=3^{x-1}\), где \(t>0\). Тогда \(9^{x-0.5}=3^{2x-1}=3t^2\), и уравнение принимает вид \(3t^2-8t+5=0\). Разложение на множители: \((3t-5)(t-1)=0\). Поэтому \(t=1\) или \(t=\frac{5}{3}\). Из \(3^{x-1}=1\) получаем \(x=1\); из \(3^{x-1}=\frac{5}{3}\) получаем \(x=1+\log_3\frac{5}{3}\).

Ответ: а) 2; б) \(\frac{2\ln 6}{\ln 12}\); в) 1 и \(1+\log_3\frac{5}{3}\).